Tầm quan trọng của các bộ số khác nhau như thực, hợp lý, không hợp lý, vv là gì?

Câu trả lời:

Một vài suy nghĩ …

Giải trình:

Có quá nhiều điều có thể nói ở đây, nhưng đây là một vài suy nghĩ …

Một số là gì?

Nếu chúng ta muốn có thể suy luận về các con số và những điều mà chúng đo lường hoặc cung cấp ngôn ngữ để diễn đạt thì chúng ta cần có nền tảng vững chắc.

Chúng ta có thể bắt đầu từ số nguyên: #0, 1, 2, 3, 4,…#

Khi chúng tôi muốn thể hiện nhiều thứ hơn, chúng tôi cũng bắt gặp nhu cầu về số âm, vì vậy chúng tôi mở rộng ý tưởng về số cho số nguyên: #0, +-1, +-2, +-3, +-4,…#

Khi chúng ta muốn chia bất kỳ số nào cho bất kỳ số nào khác không, chúng ta sẽ mở rộng ý tưởng về các số thành số hữu tỷ # p / q # Ở đâu #p, q # là số nguyên và #q! = 0 #.

Sau đó, chúng ta bắt gặp những bất tiện như thực tế là đường chéo của hình vuông có cạnh hợp lý có độ dài mà chúng ta không thể biểu thị dưới dạng số hữu tỷ. Để khắc phục điều đó, chúng tôi phải giới thiệu căn bậc hai - một loại số vô tỷ. Căn bậc hai cho phép chúng ta giải các phương trình như:

# x ^ 2 + 4x + 1 = 0 #

Thông thường khi chúng ta xử lý các số vô tỷ như #sqrt (2) # chúng ta hoặc để chúng ở dạng đại số hoặc sử dụng các xấp xỉ thập phân như #sqrt (2) ~ ~ 1.414213562 #.

Lưu ý rằng các số mà chúng ta đã nói đến cho đến nay có tổng thứ tự tự nhiên - chúng ta có thể đặt chúng trên một dòng sao cho có thể so sánh hai số bất kỳ.

Còn toàn bộ dòng thì sao?

Nó thường được gọi là dòng số thực, với mỗi điểm của dòng được liên kết với một số.

Làm thế nào chúng ta có thể lý do về số trên dòng này nói chung?

Chúng ta có thể sử dụng tổng số thứ tự, thuộc tính số học và mô tả số thực theo các giới hạn. Nói chung, lý luận về những con số thực liên quan nhiều hơn đến kiểu suy nghĩ đó.

Vì vậy, toán học có phức tạp hơn khi chúng ta đi từ lý luận về số tự nhiên đến lý luận về số thực? Không, nó trở nên khác biệt - rất khác biệt. Ví dụ, một vấn đề chưa được giải quyết trong toán học là:

Có một số lượng vô hạn các cặp số nguyên tố - tức là các cặp số # p # và # p + 2 # sao cho cả hai đều là số nguyên tố.

Nghe có vẻ đơn giản, nhưng về điều tốt nhất chúng ta có thể làm cho đến nay là chỉ ra rằng có vô số cặp nguyên tố có dạng # p #, # p + 246 # và thậm chí điều đó rất phức tạp.