Chứng minh rằng nếu 1 - ĐạI Số HọC 2025

Câu trả lời:

Xem giải thích

Giải trình:

Để cho $a = p / q$ Ở đâu $p$ và $q$ là các số nguyên dương.

$1ltp / q$ vì thế $qltp$ . $p / qlt2$ vì thế $plt2q$ . vì thế $qltplt2q$ .

$a + 1 / a = p / q + q / p = (pp) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2$

$(q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq)$ *

$(2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2)$

$(4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2)$

$4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2$

$4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2$

$2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2$

$2lta + 1 / alt5 / 2$

$5/2lt6 / 2$

$5 / 2lt3$

$2lta + 1 / alt3$

~ ~ Chủ đề nâng cao hơn phía trước ~ ~

* Điều này giả định rằng như là $p$ tăng, $(p + q) ^ 2 / (pq)$ tăng. Điều này có thể được xác minh bằng trực giác, bằng cách nhìn vào biểu đồ của $y = (x + q) ^ 2 / (xq)$ trên $x trong (q, 2q)$ cho các giá trị tích cực khác nhau của $q$ hoặc theo quy trình tính toán dưới đây.

$del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q)$ .

Trên $p trong (q, 2q)$ :

Kể từ khi $pgtqgt0$ , $p ^ 2gtq ^ 2$ do đó $p ^ 2-q ^ 2gt0$ .

Kể từ khi $q> 0$ , $p ^ 2qgt0$

Kể từ khi $p ^ 2-q ^ 2gt0$ và $p ^ 2qgt0$ , $(p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0$

Kể từ khi $del / (trợ giúp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q)$ và $(p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0$ , $del / (trợ giúp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0$

vì thế $(p + q) ^ 2 / (pq)$ không ngừng tăng $q$ và $qltplt2q$ bởi vì $del / (trợ giúp) (p + q) ^ 2 / (pq)$ tích cực.

~~~~

Câu trả lời:

Trong mô tả

Giải trình:

Ở đây ràng buộc (1):

$1 <a <2$

Ràng buộc (2):

Theo định lý đối ứng, $1/1> 1 / a> 1/2$

$1> a> 1/2$

Trong ràng buộc 1 thêm 1 ở cả hai bên, $1 + 1 <a + 1 <2 + 1$

$2 <a + 1 <3$

$màu (đỏ) (a + 1 <3)$

Trong cùng một ràng buộc thêm 1/2

$(1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2)$

Một lần nữa lưu ý rằng, $2 <2+1/2$

Vì thế $a + 1/2$ phải ít hơn 2

$màu (đỏ) (a + 1/2) <2$

Do đó trong ràng buộc 2, $1> a> 1/2$

Thêm một trên cả hai mặt, $1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a$

$3> a + 1 / a> 2$

$2 <a + 1 / a <3$

Chúng tôi đã làm như vậy bởi vì $a + 1 <3$

Vì thế $a + 1 / a$ phải nhỏ hơn 3.

Lần nữa $a + 1/2 <2$ nhưng trong hạn chế này $a + 1 / a> a + 1/2$

Vì thế, $a + 1 / a$ phải lớn hơn 2.

Vì thế, $1> 1 / a> 1 2$

Bằng cách thêm một ở cả hai bên, $1 + a> a + 1 / a> a + 1/2$

$3> a + 1 / a> 2$

$2 <a + 1 / a <3$ đã chứng minh