Hai vệ tinh P_ "1" và P_ "2" đang quay theo quỹ đạo của bán kính R và 4R. Tỷ lệ vận tốc góc tối đa và tối thiểu của đường nối P_ "1" và P_ "2" là ??

Câu trả lời:

#-9/5#

Giải trình:

Theo luật thứ ba của Kepler, # T ^ 2 propto R ^ 3 ngụ ý omega propto R ^ {- 3/2} #, nếu vận tốc góc của vệ tinh ngoài là # omega #, cái bên trong là #omega lần (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Hãy để chúng tôi xem xét # t = 0 # ngay lập tức khi hai vệ tinh hợp tác với hành tinh mẹ và chúng ta hãy lấy đường chung này làm # X # trục. Sau đó, tọa độ của hai hành tinh cùng một lúc # t # là # (R cos (8omega t), R sin (8omega)) # và # (4R cos (omega t), tội lỗi 4R (omega t)) #, tương ứng.

Để cho # theta # là góc mà đường nối hai vệ tinh tạo thành với # X # trục. Thật dễ dàng để thấy rằng

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Sản lượng khác biệt

# giây ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 lần #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) #

Như vậy

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) ngụ ý #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) ngụ ý #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) tương đương 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Chức năng ở đâu

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

có đạo hàm

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

và do đó giảm đơn điệu trong khoảng #-1,1#.

Do đó, vận tốc góc # (d theta) / dt # là tối đa khi #cos (7 omega t) # là tối thiểu, và ngược lại.

Vì thế, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 lần (-1)) / (17-8 lần (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega lần 25/5 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 lần 1) / (17-8 lần 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 lần omega (-1) / 9 = -4/3 omega #

và vì vậy tỷ lệ giữa hai là:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

chú thích Thực tế là # (d theta) / dt # thay đổi dấu hiệu là nguyên nhân cho cái gọi là chuyển động lùi rõ ràng