Điều nào sau đây có số lượng gốc thực sự tối đa?

Câu trả lời:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # với #4# rễ thật.

Giải trình:

Lưu ý rằng các gốc của:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

là một tập hợp con của liên kết gốc của hai phương trình:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Lưu ý rằng nếu một trong hai phương trình này có một cặp gốc thực thì thì phương trình kia cũng vậy, vì chúng có cùng phân biệt đối xử:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Lưu ý thêm rằng nếu #a, b, c # tất cả đều có cùng một dấu hiệu # ax ^ 2 + b abs (x) + c # sẽ luôn lấy giá trị của dấu hiệu đó khi # x # là thật. Vì vậy, trong các ví dụ của chúng tôi, kể từ khi # a = 1 #, chúng tôi có thể ngay lập tức lưu ý rằng:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

vì vậy không có số không.

Hãy lần lượt xem xét ba phương trình khác:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x trong {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x trong {-2, 1}):} #

Thử từng cách, chúng tôi tìm giải pháp #x trong {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x trong {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x trong {-1, -2}):} #

Thử từng cái, chúng tôi thấy tất cả đều là nghiệm của phương trình ban đầu, tức là #x trong {-2, -1, 1, 2} #

Phương pháp thay thế

Lưu ý rằng gốc thực sự của # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (Ở đâu #c! = 0 #) là nguồn gốc thực sự tích cực của # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Vì vậy, để tìm ra phương trình đã cho nào có gốc thực nhất tương đương với việc tìm phương trình bậc hai thông thường tương ứng nào có gốc thực dương nhất.

Một phương trình bậc hai với hai gốc thực dương có dấu trong mẫu #+ - +# hoặc là #- + -#. Trong ví dụ của chúng tôi, dấu hiệu đầu tiên luôn luôn tích cực.

Trong các ví dụ đã cho, chỉ có thứ hai và thứ ba có hệ số trong mẫu #+ - +#.

Chúng ta có thể chiết khấu phương trình thứ hai # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # vì phân biệt đối xử của nó là âm, nhưng đối với phương trình thứ ba, chúng ta thấy:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

có hai nguồn gốc thực sự tích cực, mang lại #4# gốc của phương trình # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #