Là số thực sqrt21, số hữu tỉ, số nguyên, số nguyên, số vô tỷ?

Câu trả lời:

Đó là một con số vô lý và do đó có thật.

Giải trình:

Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng #sqrt (21) # là một số thực, trên thực tế, căn bậc hai của tất cả các số thực dương là có thật. Nếu # x # là một số thực, sau đó chúng tôi xác định cho các số dương #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Điều này có nghĩa là chúng ta nhìn vào tất cả các số thực # y # như vậy mà # y ^ 2 <= x # và lấy số thực nhỏ nhất lớn hơn tất cả các số này # y #Cái gọi là tối cao. Đối với số âm, những # y #Không tồn tại, vì đối với tất cả các số thực, lấy bình phương của số này dẫn đến một số dương và tất cả các số dương đều lớn hơn số âm.

Đối với tất cả các số dương, luôn có một số # y # phù hợp với điều kiện # y ^ 2 <= x #, cụ thể là #0#. Hơn nữa, có một giới hạn trên của những con số này, cụ thể là # x + 1 #, vì nếu # 0 <= y <1 #, sau đó # x + 1> y #, nếu #y> = 1 #, sau đó #y <= y ^ 2 <= x #, vì thế # x + 1> y #. Chúng ta có thể chỉ ra rằng đối với mỗi tập hợp số thực không trống có giới hạn, luôn có một số thực duy nhất hoạt động như một tối cao, do cái gọi là tính đầy đủ của # RR #. Vì vậy, đối với tất cả các số thực dương # x # có một thực tế #sqrt (x) #. Chúng tôi cũng có thể chỉ ra rằng trong trường hợp này #sqrt (x) ^ 2 = x #, nhưng trừ khi bạn muốn tôi, tôi sẽ không chứng minh điều này ở đây. Cuối cùng, chúng tôi lưu ý rằng #sqrt (x)> = 0 #, kể từ #0# là một số phù hợp với điều kiện, như đã nêu trước đây.

Bây giờ cho sự bất hợp lý của #sqrt (21) #. Nếu nó không hợp lý (rất hợp lý), chúng ta có thể viết nó thành #sqrt (21) = a / b # với # a # và # b # toàn bộ số và # a / b # đơn giản hóa càng nhiều càng tốt, có nghĩa là # a # và # b # không có ước số chung, ngoại trừ #1#. Bây giờ điều này có nghĩa là # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Bây giờ chúng ta sử dụng một cái gì đó gọi là thừa số nguyên tố của các số tự nhiên. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết ra từng số nguyên dương dưới dạng một sản phẩm duy nhất của các số nguyên tố. Dành cho #21# đây là #3*7# va cho # a # và # b # đây là một số sản phẩm tùy ý của số nguyên tố # a = a_1 * … * a_n # và # b = b_1 * … * b_m #. Thực tế là ước số chung duy nhất của # a # và # b # Là #1# tương đương với thực tế là # a # và # b # chia sẻ không có số nguyên tố trong nhân tố của họ, vì vậy có # a_i # và # b_j # như vậy mà # a_i = b_j #. Điều này có nghĩa rằng # a ^ 2 # và # b ^ 2 # cũng không chia sẻ bất kỳ số nguyên tố nào, kể từ khi # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # và # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., do đó, ước số chung duy nhất của # a ^ 2 # và # b ^ 2 # Là #1#. Kể từ khi # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, điều này có nghĩa là # b ^ 2 = 1 #, vì thế # b = 1 #. vì thế #sqrt (21) = a #. Lưu ý rằng điều này chỉ giữ theo giả định rằng #sqrt (21) # là hợp lý.

Bây giờ chúng ta tất nhiên có thể chạy qua tất cả các số dương nhỏ hơn #21# và kiểm tra nếu bình phương họ đưa ra #21#, nhưng đây là một phương pháp nhàm chán. Để làm điều đó theo một cách thú vị hơn, chúng ta lại chuyển sang các số nguyên tố của chúng ta. Chúng ta biết rằng # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # và #21=3*7#, vì thế # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. Ở phía bên trái, mỗi số nguyên tố chỉ xảy ra một lần, ở bên phải, mỗi số nguyên tố xảy ra ít nhất hai lần và luôn luôn là một số lần chẵn (nếu # a_1 = a_n # nó sẽ cho instace xảy ra ít nhất bốn lần). Nhưng như chúng tôi đã nói, những yếu tố chính này là duy nhất, vì vậy điều này không thể đúng. vì thế # 21n ^ 2 #, vì thế #anesqrt (21) #, có nghĩa là giả định trước đó của chúng tôi về #sqrt (21) # do lý trí hóa ra là sai, do đó #sqrt (21) # là phi lý.

Lưu ý rằng cùng một đối số cho bất kỳ số nguyên dương nào # x # với một thừa số nguyên tố trong đó một trong các số nguyên tố có số lần không bằng nhau, vì bình phương của một số nguyên luôn có tất cả các thừa số nguyên tố của nó có số lần chẵn. Từ đó chúng tôi kết luận rằng nếu # x # là một số nguyên dương (#x inNN #) có một yếu tố chính chỉ xảy ra một số lần không đồng đều, #sqrt (x) # sẽ là không hợp lý.

Tôi biết rằng bằng chứng này có vẻ hơi dài, nhưng nó sử dụng các khái niệm quan trọng hình thành toán học. Có lẽ trong bất kỳ chương trình học trung học nào, những lý do này không được bao gồm (tôi không chắc chắn 100%, tôi không biết chương trình giảng dạy của mỗi trường trung học trên thế giới), nhưng đối với các nhà toán học thực tế, chứng minh công cụ là một trong những hoạt động quan trọng nhất họ làm. Vì vậy, tôi muốn cho bạn thấy loại toán học nào đứng sau lấy căn bậc hai của sự vật. Những gì bạn cần phải lấy đi từ điều này, đó thực sự là #sqrt (21) # là một số vô tỷ.