Hàm vận tốc là v (t) = Nhậnt ^ 2 + 3t - 2 cho một hạt chuyển động dọc theo một đường. Sự dịch chuyển (khoảng cách ròng được bao phủ) của hạt trong khoảng thời gian [-3,6] là gì?

Câu trả lời:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Giải trình:

Khu vực dưới một đường cong vận tốc tương đương với khoảng cách được bao phủ.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (trắng) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (xanh dương) ((- 3)) ^ màu (đỏ) (6) #

# = (màu (đỏ) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (màu (xanh) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Câu trả lời:

Câu hỏi ban đầu hơi khó hiểu vì nó ngụ ý rằng sự dịch chuyển và khoảng cách là điều tương tự, điều này không phải vậy.

Tôi đã thiết lập tích hợp cần thiết cho từng trường hợp khác nhau dưới đây.

Giải trình:

Tổng khoảng cách (đại lượng vô hướng biểu thị độ dài đường dẫn thực tế) được tính bằng tổng của tích phân từng phần

# x = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Tổng dịch chuyển (đại lượng vectơ biểu thị đường thẳng được vẽ từ đầu đến cuối chuyển động) được tính theo độ lớn bằng tích phân sau

# | vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Biểu đồ của hàm vận tốc theo thời gian cho thấy rõ lý do tại sao các tích phân này cần được thiết lập cho các quy tắc vectơ được tuân theo và các định nghĩa được thỏa mãn.

đồ thị {-x ^ 2 + 3x-2 -34,76, 38,3, -21,53, 14,98}