Nếu 3x ^ 2-4x + 1 có số không alpha và beta, thì phương trình bậc hai nào có số không alpha ^ 2 / beta và beta ^ 2 / alpha?

Câu trả lời:

Tìm thấy # alpha # và # beta # Đầu tiên.

Giải trình:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Các yếu tố bên trái, để chúng ta có

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Không mất tính tổng quát, gốc rễ là #alpha = 1 # và #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # và #(1/3)^2/1= 1/9#.

Một đa thức với các hệ số hợp lý có các gốc này là

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Nếu chúng ta mong muốn các hệ số nguyên, nhân với 9 để có được:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Chúng tôi có thể nhân nó ra nếu chúng tôi muốn:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

CHÚ THÍCH: Tổng quát hơn, chúng tôi có thể viết

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x ^ 2 - ((alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabeta)) x + alphabeta #

Câu trả lời:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Giải trình:

Lưu ý rằng:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2- (alpha + beta) x + alpha beta #

và:

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) = x ^ 2- (alpha ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alpha) x + (alpha ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / alpha) #

#color (trắng) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2- (alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alpha beta) x + alpha beta #

#color (trắng) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2 - ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) x + alpha beta #

Trong ví dụ của chúng tôi, chia # 3x ^ 2-4x + 1 # bởi #3# chúng ta có:

# {(alpha + beta = 4/3), (alpha beta = 1/3):} #

Vì thế:

# ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Vì vậy, đa thức mong muốn có thể được viết:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Nhân qua #9# để lấy hệ số nguyên:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Câu trả lời:

Đề xuất giải pháp dưới đây;

Giải trình:

# 3x²-4x + 1 #

Chú thích: # a # là alpha, # b # là beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Để tạo thành một phương trình, chúng tôi tìm tổng và các sản phẩm của rễ..

Cho tổng

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Nhưng; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b)-3ab (a + b) #

Vì thế;

# ((a + b)-3ab (a + b)) / (ab) #

Do đó, chúng tôi thay thế các giá trị..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -celon3 (1 / hủy3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / hủy27_9) xx (hủy3 / 1) #

#28/9#

Do đó, tổng là #28/9#

Đối với sản phẩm

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / Canc9_3 xx hủy3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Do đó, sản phẩm là #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Nhân qua #9#

Hi vo ng điêu nay co ich!