Một nhóm Abelian, từ quan điểm đại số tuyến tính / trừu tượng là gì?

Câu trả lời:

Một nhóm Abelian là một nhóm với tài sản bổ sung của hoạt động nhóm là giao hoán.

Giải trình:

Một nhóm # <G, •> # là một bộ # G # cùng với một hoạt động nhị phân # •: GxxG-> G # đáp ứng các điều kiện sau:

1. # G # Là đóng cửa Dưới #•#.

   Bất cứ gì # a, binG #, chúng ta có # a • b trong G #

2. #•# Là liên kết.

   Bất cứ gì # a, b, cinG #, chúng ta có # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # chứa một yếu tố nhận dạng

   Có tồn tại # einG # như vậy cho tất cả # ainG #, # a • e = e • a = a #

4. Mỗi yếu tố của # G # có một nghịch đảo trong # G #

   Cho tất cả # ainG # có tồn tại #a ^ (- 1) trongG # như vậy mà # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

Một nhóm được cho là Abelian nếu nó cũng có tài sản mà #•# là giao hoán, nghĩa là cho tất cả # a, binG #, chúng ta có # a • b = b • a #.

Nhóm # <ZZ, +> # (các số nguyên có bổ sung tiêu chuẩn) là một nhóm Abelian, vì nó đáp ứng tất cả năm điều kiện trên.

Nhóm # GL_2 (RR) # (bộ khả nghịch # 2 "x" 2 # ma trận với các phần tử thực cùng với phép nhân ma trận) không phải là Abelian, vì trong khi nó đáp ứng bốn điều kiện đầu tiên, phép nhân ma trận giữa các ma trận khả nghịch không nhất thiết phải giao hoán. Ví dụ:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

nhưng

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#