Một chức năng liên tục piecewise là gì? + Ví dụ

Câu trả lời:

Hàm liên tục piecewise là một hàm liên tục ngoại trừ tại một số điểm hữu hạn trong miền của nó.

Giải trình:

Lưu ý rằng các điểm không liên tục của chức năng liên tục từng phần không phải là sự gián đoạn có thể tháo rời. Đó là chúng tôi không yêu cầu chức năng có thể được thực hiện liên tục bằng cách xác định lại nó tại các điểm đó. Nếu chúng ta loại trừ các điểm đó khỏi miền thì đủ để hàm liên tục trên miền bị hạn chế.

Ví dụ, hãy xem xét chức năng:

#s (x) = {(-1, "nếu x <0"), (0, "nếu x = 0"), (1, "nếu x> 0"):} #

đồ thị {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2,5, 2,5}

Điều này là liên tục cho tất cả #x bằng RR # ngoại trừ #x = 0 #

Sự gián đoạn tại # x = 0 # không thể tháo rời. Chúng ta không thể xác định lại #s (x) # tại thời điểm đó và có được một chức năng liên tục.

Tại # x = 0 # đồ thị của hàm 'nhảy'. Chính thức hơn, trong ngôn ngữ của giới hạn, chúng tôi tìm thấy:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Vì vậy, giới hạn bên trái và giới hạn bên phải không đồng ý với nhau và với giá trị của hàm tại # x = 0 #.

Nếu chúng tôi loại trừ tập hợp không liên tục hữu hạn khỏi miền, thì hàm bị giới hạn trong miền mới này sẽ liên tục.

Trong ví dụ của chúng tôi, định nghĩa về #s (x) # như một chức năng từ # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # là liên tục.

Nếu chúng ta vẽ đồ thị #s (x) # bị giới hạn trong miền này, có vẻ như nó không liên tục tại #0#, nhưng #0# không phải là một phần của miền, do đó, 'bước nhảy' không liên quan. Tại bất kỳ thời điểm nào, tùy ý gần #0#, chúng ta có thể chọn một khoảng mở nhỏ xung quanh nó trong đó hàm là (không đổi và do đó) liên tục.

Hơi khó hiểu, chức năng #tan (x) # được coi là liên tục - chứ không phải là liên tục, bởi vì các tiệm cận tại #x = pi / 2 + n pi # được loại trừ khỏi miền.

đồ thị {tan (x) -10,06, 9,94, -4,46, 5,54}

Trong khi đó, hàm răng cưa #f (x) = x - sàn (x) # không được coi là piecewise liên tục như là một chức năng từ # RR # đến # RR #, nhưng là từng phần liên tục trên bất kỳ khoảng thời gian mở hữu hạn.

đồ thị {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2,56, 2,44, -0,71, 1,79}