Thời gian bán hủy của (Na ^ 24) là bao nhiêu nếu một trợ lý nghiên cứu tạo ra 160 mg natri phóng xạ (Na ^ 24) và thấy rằng chỉ còn 20 mg sau 45 giờ?

Câu trả lời:

#color (màu xanh) ("Thời gian bán hủy là 15 giờ.") #

Giải trình:

Chúng ta cần tìm một phương trình có dạng:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Ở đâu:

#bb (A (t)) = # số lượng sau thời gian t.

#bb (A (0) = # số tiền khi bắt đầu. tức là t = 0.

# bbk = # yếu tố tăng trưởng / suy giảm.

# bbe = # Số điện tử.

# bbt = # thời gian, trong trường hợp này giờ.

Chúng ta được cho:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Chúng ta cần giải quyết cho # bbk #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Chia cho 160:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Lấy logarit tự nhiên của cả hai bên:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Vì thế:

#ln (1/8) = 45k #

Chia cho 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Vì theo định nghĩa, nửa đời là khoảng thời gian khi chúng ta có một nửa số tiền bắt đầu:

#A (t) = 80 #

Vì vậy, chúng ta cần giải quyết cho t trong:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Lấy logarit tự nhiên:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

Thời gian bán hủy là 15 giờ.

Câu trả lời:

15 giờ

Giải trình:

• Đường tắt

Khi lượng chất phân rã giảm một nửa mỗi Thời gian bán hủy (do đó là tên), giảm một nửa số lượng trong các bước cần 3 bước để có được từ 160 đến 20:

• # 160 đến 80 đến 40 đến 20 #

Và #45 = 3 * 15#

Vậy là nửa đời là 15 năm.

• Cách chính thức hơn

Cho nửa đời # tau #, Ở đâu # X (t) # là số lượng (khối lượng / số hạt / vv) còn lại tại thời điểm t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad vuông #

Vì thế:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Cắm các giá trị được đưa vào #Quảng trường#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 ngụ ý tau = 15 #