Câu trả lời:
Đường tiếp tuyến song song với # x # trục khi dốc (do đó # dy / dx #) bằng 0 và nó song song với # y # trục khi dốc (một lần nữa, # dy / dx #) đi đến # oo # hoặc là # -oo #
Giải trình:
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách tìm # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Hiện nay, # dy / dx = 0 # khi nuimerator là #0#, với điều kiện là điều này cũng không làm cho mẫu số #0#.
# 2x + y = 0 # khi nào #y = -2x #
Bây giờ chúng ta có hai phương trình:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Giải quyết (bằng cách thay thế)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Sử dụng #y = -2x #, chúng tôi nhận được
Tiếp tuyến của đường cong nằm ngang tại hai điểm:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # và # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Quan sát rằng cặp này cũng không tạo thành mẫu số của # dy / dx # tương đương với #0#)
Để tìm các điểm tại đó tiếp tuyến thẳng đứng, hãy làm mẫu số của # dy / dx # tpo bằng nhau #0# (mà không làm cho tử số #0#).
Chúng ta có thể đi qua lời giải, nhưng tính đối xứng của phương trình mà chúng ta sẽ nhận được:
# x = -2y #, vì thế
#y = + - sqrt21 / 3 #
và các điểm trên đường cong mà tại đó tiếp tuyến là:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # và # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Nhân tiện. Bởi vì chúng tôi có công nghệ, đây là biểu đồ của hình elip xoay này: (Lưu ý rằng # + - sqrt21 / 3 ~ ~ + - 1.528 # mà bạn có thể thấy trên biểu đồ.)
đồ thị {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Câu trả lời:
Tôi chỉ sử dụng toán trung học cơ sở
Tiếp tuyến song song với trục x tại:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) và (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tiếp tuyến song song với trục y tại:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) và (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Giải trình:
Tôi liếc nhìn câu trả lời của Jim, trông giống như một cách xử lý tính toán chuẩn, tốt đẹp. Nhưng tôi không thể không cảm thấy buồn cho tất cả những học sinh cấp hai ngoài kia ở vùng đất Socrates, những người muốn tìm tiếp tuyến của các đường cong đại số nhưng vẫn còn cách tính toán nhiều năm.
May mắn thay họ có thể làm những vấn đề này chỉ bằng Đại số I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Điều này có thể hơi phức tạp đối với một ví dụ đầu tiên, nhưng chúng ta hãy đi với nó. Chúng tôi viết đường cong của chúng tôi là #f (x, y) = 0 # Ở đâu
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Chúng ta hãy lấy # (r, s) # như một điểm trên # f #. Chúng tôi muốn điều tra # f # ở gần # (r, s) # vì vậy chúng tôi viết
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Chúng tôi mở rộng, nhưng chúng tôi không mở rộng các điều khoản khác biệt # x-r # và # y-s #. Chúng tôi muốn giữ những thứ đó nguyên vẹn để chúng tôi có thể thử nghiệm loại bỏ một số sau này.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (r + ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys)
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Chúng tôi đã nói # (r, s) # là trên # f # vì thế #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Chúng tôi đã sắp xếp các thuật ngữ theo mức độ và chúng tôi có thể thử nghiệm các xấp xỉ để # f # ở gần # (r, s) # bằng cách giảm độ cao hơn Ý tưởng là khi # (x, y) # gân # (r, s) # sau đó # x-r # và # y-s # là nhỏ, và hình vuông và sản phẩm của họ vẫn nhỏ hơn.
Hãy tạo ra một số xấp xỉ để # f #. Kể từ khi # (r, s) # là trên đường cong, xấp xỉ không đổi, bỏ tất cả các điều khoản khác biệt, là
# f_0 (x, y) = 0 #
Điều đó không đặc biệt thú vị, nhưng nó chính xác cho chúng ta biết điểm gần # (r, s) # sẽ đưa ra một giá trị gần bằng 0 cho # f #.
Chúng ta hãy thú vị hơn và giữ các thuật ngữ tuyến tính.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Khi chúng ta đặt giá trị này thành 0, chúng ta sẽ có được xấp xỉ tuyến tính tốt nhất là # f # ở gần # (r, s), # đó là đường tiếp tuyến đến # f # tại # (r, s). # Bây giờ chúng tôi đang nhận được ở đâu đó.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Chúng ta cũng có thể xem xét các xấp xỉ khác:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Đây là những tiếp tuyến bậc cao, những thứ mà sinh viên toán đại học khó có thể đạt được. Chúng tôi đã vượt ra ngoài tính toán đại học.
Có nhiều xấp xỉ hơn, nhưng tôi được cảnh báo rằng điều này sẽ kéo dài. Bây giờ chúng ta đã học cách làm phép tính chỉ bằng Đại số I, hãy làm bài toán.
Chúng tôi muốn tìm các điểm mà đường tiếp tuyến song song với # x # trục và # y # trục.
Chúng tôi tìm thấy dòng tiếp tuyến của chúng tôi tại # (r, s) # Là
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Song song với # x # trục có nghĩa là một phương trình #y = văn bản {hằng} #. Vậy hệ số trên # x # phải bằng không:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # là trên đường cong #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Kể từ khi # s = -2r # các điểm là
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) và (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tương tự song song với trục y có nghĩa là # 2s + r = 0 # mà chỉ nên trao đổi x và y do tính đối xứng của vấn đề. Vì vậy, các điểm khác là
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) và (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Kiểm tra.
Làm thế nào để kiểm tra? Hãy làm một âm mưu Alpha.
lô x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Có vẻ tốt. Giải tích trên các đường cong đại số. Khá tốt cho trường trung học.
