Tìm giá trị phức của x = root (3) (343)?

Câu trả lời:

# x = 7 # và #x = (- 7 + -7sqrt (3) i) / 2 #

Giải trình:

Giả sử bạn có nghĩa là gốc phức của phương trình:

# x ^ 3 = 343 #

Chúng ta có thể tìm thấy một gốc thực sự bằng cách lấy gốc thứ ba của cả hai bên:

#root (3) (x ^ 3) = root (3) (343) #

# x = 7 #

Chúng ta biết rằng # (x-7) # phải là một yếu tố kể từ # x = 7 # là một gốc. Nếu chúng ta mang mọi thứ về một phía, chúng ta có thể sử dụng phép chia dài đa thức:

# x ^ 3-343 = 0 #

# (x-7) (x ^ 2 + 7x + 49) = 0 #

Chúng tôi biết khi nào # (x-7) # bằng 0, nhưng chúng ta có thể tìm các gốc còn lại bằng cách giải quyết khi hệ số bậc hai bằng 0. Điều này có thể được thực hiện với công thức bậc hai:

# x ^ 2 + 7x + 49 = 0 #

#x = (- 7 + -sqrt (7 ^ 2-4 * 1 * 49)) / 2 #

# => (- 7 + -sqrt (49-196)) / 2 #

# => (- 7 + -sqrt (-147)) / 2 #

# => (- 7 + -isqrt (49 * 3)) / 2 #

# => (- 7 + -7sqrt (3) i) / 2 #

Điều này có nghĩa là các giải pháp phức tạp cho phương trình # x ^ 3-343 = 0 # là

# x = 7 # và

#x = (- 7 + -7sqrt (3) i) / 2 #