U_1, u_2, u_3, ... đang trong quá trình hình học (GP). Tỷ lệ chung của các thuật ngữ trong chuỗi là K. Bây giờ hãy xác định tổng của chuỗi u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) ở dạng K và u_1?

Câu trả lời:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Giải trình:

Thuật ngữ chung của một tiến trình hình học có thể được viết:

#a_k = a r ^ (k-1) #

Ở đâu # a # là thuật ngữ ban đầu và # r # tỷ lệ chung.

Tổng số để # n # các điều khoản được đưa ra bởi công thức:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#màu trắng)()#

Với thông tin được đưa ra trong câu hỏi, công thức chung cho # u_k # có thể được viết:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Lưu ý rằng:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Vì thế:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (trắng) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (trắng) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # Ở đâu # a = u_1 ^ 2K # và #r = K ^ 2 #

#color (trắng) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (trắng) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #