Một số ví dụ của loạt hội tụ là gì?

Câu trả lời:

Đây là ba ví dụ quan trọng …

Giải trình:

Loạt hình học

Nếu #abs (r) <1 # sau đó là tổng của chuỗi hình học #a_n = r ^ n a_0 # là hội tụ:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Hàm số mũ

Chuỗi xác định # e ^ x # là hội tụ cho bất kỳ giá trị nào của # x #:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Để chứng minh điều này, cho bất kỳ # x #, để cho # N # là một số nguyên lớn hơn #abs (x) #. Sau đó #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # hội tụ vì nó là một tổng hữu hạn và #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # hội tụ vì giá trị tuyệt đối của tỷ lệ các số hạng liên tiếp nhỏ hơn #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Vấn đề Basel

Vấn đề Basel, được đặt ra vào năm 1644 và được Euler giải quyết vào năm 1734 đã yêu cầu giá trị của tổng các nghịch đảo của bình phương của các số nguyên dương:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #