(3 + i) ^ (1/3) bằng gì ở dạng + bi?

Câu trả lời:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + gốc (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Giải trình:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alpha) + i sin (alpha)) # Ở đâu #alpha = arctan (1/3) #

Vì thế

#root (3) (3 + i) = root (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Kể từ khi # 3 + tôi # là trong Q1, gốc khối chính này của # 3 + tôi # cũng trong Q1.

Hai rễ khối khác của # 3 + tôi # có thể biểu hiện bằng cách sử dụng gốc khối phức hợp nguyên thủy của sự thống nhất #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) tôi #

# omega ^ 2 (gốc (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + gốc (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) tôi #