Câu trả lời:
# a_n = P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + b ^ n + c #
với # a = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #
# P ^ ^ (d + 2) # là một chuỗi đa giác của thứ hạng, # r = d + 2 #
ví dụ đưa ra một chuỗi bỏ qua số học đếm bằng # d = 3 #
bạn sẽ có một #color (đỏ) (ngũ giác) # trình tự:
# P_n ^ màu (đỏ) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # cho # P_n ^ 5 = {1, màu (đỏ) 5, 12, 22,35,51, cdots} #
Giải trình:
Một chuỗi đa giác được xây dựng bằng cách lấy # nth # tổng của một chuỗi số học. Trong tính toán, đây sẽ là một sự tích hợp.
Vì vậy, giả thuyết chính ở đây là:
Vì chuỗi số học là tuyến tính (nghĩ phương trình tuyến tính) nên việc tích hợp chuỗi tuyến tính sẽ dẫn đến một chuỗi đa thức bậc 2.
Bây giờ để hiển thị trường hợp này
Bắt đầu với một chuỗi tự nhiên (bỏ qua đếm bằng cách bắt đầu bằng 1)
#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #
tìm tổng thứ n của #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #
# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #
#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #
# a_n # là dãy số học với
# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #
#S_n = (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1)) / 2n = n (n + 1) / 2 #
#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #
Vì vậy, với d = 1, chuỗi có dạng # P_n ^ 3 = an ^ 2 + bn + c #
với #a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #
Bây giờ tổng quát hóa cho một bộ đếm bỏ qua tùy ý # màu (đỏ) d #, #color (đỏ) d có màu (xanh dương) ZZ # và # a_1 = 1 #:
# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + màu (đỏ) d (n-1)) / 2 n #
# P_n ^ (d + 2) = (2 + màu (đỏ) d (n-1)) / 2 n #
# P_n ^ (d + 2) = màu (đỏ) d / 2n ^ 2 + (2 màu (đỏ) d) n / 2 #
Đó là một hình thức chung # P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + bn + c #
với # a = màu (đỏ) d / 2; b = (2 màu (đỏ) d) / 2; c = 0 #
