Phát biểu nào sau đây là đúng / sai? Hãy chứng minh câu trả lời của bạn. (i) R² có vô số các không gian vectơ thích hợp khác không. (ii) Mọi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đều có nghiệm không bằng không.

Câu trả lời:

# #

# "(tôi thật. " #

# "(ii) Sai." #

Giải trình:

# #

# "Bằng chứng." #

# "(i) Chúng ta có thể xây dựng một tập hợp các không gian con như vậy:" #

# "1)" forall r in RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) in RR ^ 2. #

# "Về mặt hình học," V_r "là dòng thông qua nguồn gốc của" RR ^ 2, "của độ dốc" r. #

# "2) Chúng tôi sẽ kiểm tra xem các không gian con này có biện minh cho khẳng định (i) không." #

# "3) Rõ ràng:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Kiểm tra xem:" qquad qquad V_r "có phải là không gian con thích hợp của" RR ^ 2. #

# "Hãy:" qquad u, v in V_r, alpha, beta bằng RR. qquad qquad qquad quad "Xác minh rằng:" quad alpha u + beta v in V_r. #

# u, v in V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "cho một số" x_1, x_2 trong RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) in V_r; qquad "với" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Vì vậy:" qquad qquad qquadu, v in V_r, alpha, beta in RR quad rArr quad alpha u + beta v in V_r. #

# "Do đó:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "là một không gian con của" RR ^ 2. #

# "Để thấy rằng" V_r "là khác không, lưu ý rằng:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) trong V_r, "và" (1, r) ne (0, 0). #

# "Để thấy rằng" V_r "là phù hợp," "lưu ý rằng" (1, r + 1)! Trong V_r: #

# (1, r + 1) trong V_r rArr "(bằng cách xây dựng" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "rõ ràng là không thể." #

# "Do đó:" qquad qquad qquad V_r "là một không gian con đúng, không của" RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Bây giờ cho thấy có vô số không gian con như vậy" V_r. #

# "Hãy:" qquad qquad r, s bằng RR. qquad qquad qquad quad "Chúng tôi sẽ hiển thị:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Theo định nghĩa:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) in V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) trong V_s. #

# "Rõ ràng:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Do đó:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Vì vậy, mỗi" r trong RR "tạo ra một không gian con riêng biệt" V_r. #

# "Điều này, cùng với (1), mang lại:" #

# "Họ của không gian con:" r trong RR, "là một họ vô hạn" #

# "Không khác không, các không gian con thích hợp của" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad vuông #

# "(ii) Điều này thực sự dễ dàng. Nếu hệ thống là hình vuông và" #

# "ma trận hệ số của hệ thống không thể đảo ngược, sẽ chỉ có" #

# "giải pháp không." #

# "Giả sử:" qquad qquad quad A "là một ma trận vuông, không thể đảo ngược." #

# "Hãy xem xét hệ thống đồng nhất:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Do đó, vì" A "không thể đảo ngược:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Do đó, hệ thống đồng nhất" A x = 0, "không có" #

# "giải pháp khác không." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad