Không có đồ thị, làm thế nào để bạn quyết định liệu hệ phương trình tuyến tính sau có một giải pháp, vô số giải pháp hay không có giải pháp?

Câu trả lời:

Một hệ thống # N # phương trình tuyến tính với # N # các biến không xác định không chứa phụ thuộc tuyến tính giữa các phương trình (nói cách khác, nó yếu tố quyết định là khác không) sẽ có một và chỉ một giải pháp.

Giải trình:

Hãy xem xét một hệ thống gồm hai phương trình tuyến tính với hai biến chưa biết:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Nếu cặp # (A, B) # không tỷ lệ với cặp # (D, E) # (đó là, không có số đó # k # cái đó # D = kA # và # E = kB #, có thể được kiểm tra theo điều kiện # A * E-B * D! = 0 #) sau đó có một và chỉ một giải pháp:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Thí dụ:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Dung dịch:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Nếu cặp # (A, B) # tỷ lệ thuận với cặp # (D, E) # (có nghĩa là có số đó # k # cái đó # D = kA # và # E = kB #, có thể được kiểm tra bởi một điều kiện # A * E-B * D = 0 #), có hai trường hợp:

(a) vô số giải pháp nếu # C # và # F # tỷ lệ với cùng hệ số như # A # và # D #, đó là # F = kC #, Ở đâu # k # là cùng một hệ số tỷ lệ;

Thí dụ:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Đây # k = 2 # cho tất cả các cặp: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Phương trình thứ hai là hệ quả tầm thường của phương trình thứ nhất (chỉ cần nhân phương trình thứ nhất với #2#) và, do đó, không cung cấp thêm thông tin nào về ẩn số, giảm số phương trình, hiệu quả, xuống 1.

(b) không có giải pháp nào cả, nếu #F! = KC #

Thí dụ:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

Trong trường hợp này các phương trình mâu thuẫn với nhau vì, bằng cách nhân số thứ nhất với 2, chúng ta suy ra phương trình # 2x + 8y = 6 #, mà không thể có giải pháp chung với # 2x + 8y = 5 # vì các phần bên trái của hai phương trình này bằng nhau, nhưng các phần bên phải thì không.