Làm thế nào để bạn tìm thấy tất cả các giải pháp của 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # cho

#x trong {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # Ở đâu #n trong ZZ #

Gỡ rối: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Đầu tiên, thay thế # cos ^ 2 x # bởi # (1 - tội ^ 2 x) #

# 2 (1 - tội ^ 2 x) - tội lỗi x - 1 = 0 #.

Gọi điện # sin x = t #, chúng ta có:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Đây là một phương trình bậc hai có dạng # tại ^ 2 + bt + c = 0 # có thể được giải quyết bằng phím tắt:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

hoặc bao thanh toán cho # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Một gốc thực sự là # t_1 = -1 # và cái khác là # t_2 = 1/2 #.

Tiếp theo giải 2 hàm trig cơ bản:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (cho #n trong ZZ #)

và

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

hoặc là

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Kiểm tra với phương trình (1):

#cos (3pi / 2) = 0; tội lỗi (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (chính xác)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; tội lỗi (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (chính xác)