Vòng A có tâm ở (6, 5) và diện tích 6 pi. Circle B có tâm ở (12, 7) và diện tích 48 pi. Làm các vòng tròn chồng lên nhau?

Câu trả lời:

Kể từ khi

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # và

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

chúng ta có thể tạo một tam giác thực với các cạnh bình phương 48, 6 và 40, vì vậy các đường tròn này giao nhau.

Giải trình:

Tại sao vô cớ #số Pi#?

Khu vực là #A = pi r ^ 2 # vì thế # r ^ 2 = A / pi. # Vì vậy, vòng tròn đầu tiên có bán kính # r_1 = sqrt {6} # va thu hai # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Các trung tâm là #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # xa nhau

Vì vậy, các vòng tròn chồng lên nhau nếu #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Điều đó thật xấu xí đến nỗi bạn sẽ được tha thứ cho việc tiếp cận với máy tính. Nhưng nó thực sự không cần thiết. Chúng ta hãy đi đường vòng và xem cách nó được thực hiện bằng cách sử dụng Lượng giác Rational. Ở đó chúng tôi chỉ quan tâm đến độ dài bình phương, được gọi là bậc hai.

Hãy nói rằng chúng tôi muốn kiểm tra nếu ba phương trình # A, B, C # là các góc phần tư giữa ba điểm cộng tuyến, tức là #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # hoặc là #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # hoặc là #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Chúng tôi sẽ viết nó như là

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Bình phương, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = chiều 2 sqrt {AB} #

Bình phương lại, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Hóa ra

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

là một phân biệt đối xử cho hình tam giác. Chúng tôi chỉ cho thấy nếu #mathcal {A} = 0 # điều đó có nghĩa là chúng ta có một thoái hóa tam giác, hình thành từ ba điểm cộng tuyến. Nếu #mathcal {A}> 0 # sau đó chúng ta có một tam giác thực, mỗi bên ít hơn tổng của hai bên kia. Nếu #mathcal {A} <0 # chúng ta không có các cạnh thỏa mãn bất đẳng thức tam giác và đôi khi chúng ta gọi đây là một tam giác tưởng tượng.

Hãy quay trở lại câu hỏi của chúng tôi được trang bị phân biệt đối xử tam giác mới của chúng tôi #mathcal {A} #. Nếu các đường tròn cắt nhau, chúng ta có thể tạo một tam giác gồm hai tâm và một giao điểm, do đó các cạnh sẽ có độ dài # r_1 #, # r_2 #và khoảng cách giữa các trung tâm #(6,5)# và #(12,7)#. Chúng ta có

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # Vì vậy, chúng ta có một hình tam giác thực, tức là các vòng tròn chồng chéo.

Ồ vâng, cho bất kỳ tam giác #mathcal {A} = 16 (văn bản {khu vực}) ^ 2. #

Kiểm tra: Alpha