Hai hợp âm song song của một vòng tròn có độ dài 8 và 10 đóng vai trò là cơ sở của một hình thang được ghi trong vòng tròn. Nếu chiều dài của bán kính hình tròn là 12, thì diện tích lớn nhất có thể có của một hình thang được mô tả như vậy là bao nhiêu?

Câu trả lời:

# 72 * sqrt (2) + 9 * sqrt (119) ~ = 200.002 #

Giải trình:

Hãy xem xét quả sung. 1 và 2

Theo sơ đồ, chúng ta có thể chèn hình bình hành ABCD vào một hình tròn và với điều kiện hai bên AB và CD là hợp âm của các hình tròn, theo cách của hình 1 hoặc hình 2.

Điều kiện là các cạnh AB và CD phải là hợp âm của vòng tròn ngụ ý rằng hình thang được ghi phải là một hình cân bằng vì

• các đường chéo của hình thang (#AC# và #CD#) bằng nhau vì
• #A mũ B D = B mũ A C = B hatD C = A mũ C D #

  và đường thẳng vuông góc với # AB # và #CD# đi qua trung tâm E chia đôi các hợp âm này (điều này có nghĩa là # AF = BF # và # CG = DG # và các hình tam giác được hình thành bởi giao điểm của các đường chéo với các cơ sở trong # AB # và #CD# là cân bằng).

Nhưng vì diện tích của hình thang là

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h #, Ở đâu # b_1 # là viết tắt của cơ sở 1, # b_2 # cho cơ sở 2 và # h # cho chiều cao, và # b_1 # song song với # b_2 #

Và kể từ khi yếu tố # (b_1 + b_2) / 2 # là bằng nhau trong các giả thuyết của Hình 1 và 2, vấn đề quan trọng là ở chỗ giả thuyết hình thang có chiều cao dài hơn (# h #). Trong trường hợp hiện tại, với các hợp âm nhỏ hơn bán kính của vòng tròn, không còn nghi ngờ gì nữa, trong giả thuyết của hình 2, hình thang có chiều cao dài hơn và do đó nó có diện tích cao hơn.

Theo hình 2, với # AB = 8 #, # CD = 10 # và # r = 12 #

#trigin_ (BEF) -> cos alpha = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #

# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #

# -> tan alpha = (sin alpha) / cos alpha = (2sqrt (2) / hủy (3)) / (1 / hủy (3)) = 2sqrt (2) #

#tan alpha = x / ((AB) / 2) # => # x = 8 / hủy (2) * hủy (2) sqrt (2) # => # x = 8sqrt (2) #

#trigin_ (ECG) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 #

# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #

# -> tan beta = (sin beta) / cos beta = (sqrt (119)) / hủy (12)) / (5 / hủy (12)) = sqrt (119) / 5 #

#tan beta = y / ((CD) / 2) # => # y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # y = sqrt (119) #

Sau đó

# h = x + y #

# h = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200.002 #