Đặt p là ma trận không đơn 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O biểu thị ma trận null), thì p ^ -1 là?

Câu trả lời:

Câu trả lời là # = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Giải trình:

Chúng ta biết rằng

# p ^ -1p = Tôi #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

Nhân cả hai bên # p ^ -1 #

# p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# p ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O #

# p ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

Vì thế, # p ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # nhưng # p # theo giả thuyết là số ít thì tồn tại # p ^ -1 # vì thế

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

và cuối cùng

# p ^ - 1 = - tổng_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

Cũng có thể được giải quyết như

# p ^ -1 = -p (sum_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #