Tổng bình phương của ba số nguyên là 324. Làm thế nào để bạn tìm thấy các số nguyên?

Câu trả lời:

Giải pháp duy nhất có số nguyên dương khác biệt là #(2, 8, 16)#

Toàn bộ giải pháp là:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Giải trình:

Chúng ta có thể tiết kiệm cho mình một số nỗ lực bằng cách xem xét hình vuông nào.

Nếu # n # là số nguyên lẻ rồi #n = 2k + 1 # cho một số nguyên # k # và:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Lưu ý rằng đây là một số nguyên lẻ của mẫu # 4p + 1 #.

Vì vậy, nếu bạn thêm bình phương của hai số nguyên lẻ, thì bạn sẽ luôn nhận được một số nguyên có dạng # 4k + 2 # cho một số nguyên # k #.

Lưu ý rằng #324 = 4*81# có dạng # 4k #, không phải # 4k + 2 #.

Do đó chúng ta có thể suy ra rằng tất cả ba số nguyên phải là số chẵn.

Có một số lượng hữu hạn các giải pháp trong số nguyên kể từ khi # n ^ 2> = 0 # cho bất kỳ số nguyên # n #.

Xem xét các giải pháp trong số nguyên không âm. Chúng ta có thể thêm các biến thể liên quan đến số nguyên âm ở cuối.

Giả sử số nguyên lớn nhất là # n #, sau đó:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Vì thế:

# 12 <= n <= 18 #

Điều đó dẫn đến tổng các bình phương có thể có của hai số nguyên còn lại:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Đối với mỗi giá trị này # k #, giả sử số nguyên lớn nhất còn lại là # m #. Sau đó:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

và chúng tôi yêu cầu # k-m ^ 2 # để trở thành một hình vuông hoàn hảo.

Do đó, chúng tôi tìm giải pháp:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Vì vậy, giải pháp duy nhất có số nguyên dương khác biệt là #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Thật dễ dàng để chỉ ra rằng # x, y # và # z # phải thậm chí vì làm # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # và # z = 2m_z # chúng ta có

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # hoặc là

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # đó là vô lý.

Vì vậy, chúng tôi sẽ xem xét từ bây giờ

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Bây giờ xem xét danh tính

# ((l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

với # l, m, n # số nguyên dương tùy ý và làm

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

chúng ta có

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # hoặc giải quyết cho # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

vì vậy để khả thi chúng ta cần

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # hoặc là

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

vì vậy đối với # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # chúng ta sẽ có

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # nên khả thi # q # là

#q_f = {80,72,56,32} # bởi vì #q tương đương 0 mod 4 #

vì vậy chúng tôi phải tìm

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # hoặc là

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = thanh q_i = {20,18,14,8} #

Ở đây chúng ta có thể dễ dàng xác minh, giải pháp duy nhất là cho

# l_1 = 2, m_1 = 4 # bởi vì

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = thanh q_1 #

và do đó # n_1 = {4,5} #

và thay thế vào 1 chúng ta nhận được

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

đưa ra giải pháp

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #