Hãy bắt đầu với chức năng mà không cần # m #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Chức năng này chắc chắn có # x = 0 # là root, vì chúng tôi bao gồm # x #.
Các gốc khác là giải pháp của # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, nhưng parabola này không có rễ. Điều này có nghĩa là đa thức ban đầu chỉ có một gốc.
Bây giờ, một đa thức #p (x) # mức độ lẻ luôn có ít nhất một giải pháp, bởi vì bạn có
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # và #lim_ {x đến infty} p (x) = infty #
và #p (x) # là liên tục, vì vậy nó phải vượt qua # x # trục tại một số điểm.
Câu trả lời đến từ hai kết quả sau:
- Một đa thức bậc # n # có chính xác # n # rễ phức tạp, nhưng nhất # n # rễ thật
- Cho đồ thị của #f (x) #, đồ thị của #f (x) + k # có hình dạng tương tự, nhưng nó được dịch theo chiều dọc (lên trên nếu #k> 0 #, đi xuống khác).
Vì vậy, chúng tôi bắt đầu từ # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, chỉ có một gốc thực sự (và do đó có hai gốc phức tạp) và chúng tôi chuyển đổi nó thành # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, có nghĩa là chúng tôi dịch nó lên hoặc xuống, vì vậy chúng tôi không thay đổi số lượng giải pháp.
Vài ví dụ:
Chức năng gốc: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
đồ thị {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Dịch lên: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
đồ thị {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Dịch xuống: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
đồ thị {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Như bạn có thể thấy, luôn có một gốc
Câu trả lời:
Xem bên dưới
Giải trình:
Một giải pháp thay thế, có thể thanh lịch hơn:
đạo hàm của đa thức của bạn là # 3x ^ 2-4x + 2 #, đó là một parabola lõm lên không có rễ, và do đó luôn luôn tích cực. Vì thế, # f # Là:
- Đơn điệu tăng
- #lim_ {x đến pm infty} f (x) = pm infty #
- # "deg" (f) = 3 #
Hai điểm đầu tiên cho thấy rằng # f # có chính xác một gốc và thứ ba là hai gốc còn lại phức tạp.
