Nếu bạn lăn một con súc sắc, số lượng cuộn dự kiến cần thiết để cuộn mỗi số một lần là bao nhiêu?

Câu trả lời:

# 14,7 "cuộn" #

Giải trình:

#P "tất cả các số bị ném" = 1 - P "1,2,3,4,5 hoặc 6 không được ném" #

#P "A hoặc B hoặc C hoặc D hoặc E hoặc F" = P A + P B + … + P F - #

#P A và B - P A và C …. + P A và B và C + … #

# "Đây là" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Tiêu cực của điều này là xác suất của chúng tôi." #

#sum n * a ^ (n-1) = tổng (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) tổng a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = sum n * P "tất cả các số được ném sau khi ném n" #

# = tổng n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Chúng tôi phải trừ đi một vì điều kiện bắt đầu P_1 (0)" #

# "đưa ra giá trị bị lỗi P = 1 cho n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Câu trả lời:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Giải trình:

Hãy nghĩ về nó giống như sáu trò chơi nhỏ. Đối với mỗi trò chơi, chúng tôi lăn súc sắc cho đến khi chúng tôi tung ra một con số chưa được tung ra mà còn gọi là "chiến thắng". Sau đó, chúng tôi bắt đầu trò chơi tiếp theo.

Để cho # X # là số lượng cuộn cần thiết để cuộn mỗi số ít nhất một lần (nghĩa là thắng tất cả 6 trò chơi nhỏ) và để # X_i # là số cuộn cần thiết để "thắng" số trò chơi nhỏ #tôi# (cho #tôi# từ 1 đến 6). Sau đó mỗi # X_i # là một biến ngẫu nhiên hình học có phân phối # "Địa lý" (p_i) #.

Giá trị dự kiến của mỗi biến ngẫu nhiên hình học là # 1 / p_i #.

Đối với trò chơi đầu tiên, # p_1 = 6/6 # vì tất cả 6 kết quả là "mới". Như vậy # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Đối với trò chơi thứ hai, 5 trong số 6 kết quả là mới, vì vậy # p_2 = 5/6 #. Như vậy # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Đối với trò chơi thứ ba, 4 trong số 6 cuộn có thể là mới, vì vậy # p_3 = 4/6 #, Ý nghĩa # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Đến thời điểm này, chúng ta có thể thấy một mô hình. Vì số lượng cuộn "chiến thắng" giảm đi 1 cho mỗi trò chơi mới, nên xác suất "chiến thắng" của mỗi trò chơi giảm xuống từ #6/6# đến #5/6#, sau đó #4/6#, v.v., có nghĩa là số lượng cuộn dự kiến cho mỗi trò chơi đi từ #6/6# đến #6/5#, đến #6/4#, v.v., cho đến trò chơi cuối cùng, nơi chúng tôi hy vọng nó sẽ mất 6 cuộn để lấy số cuối cùng.

Như vậy:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (trắng) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (trắng) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (trắng) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#color (trắng) ("E" (X)) = 14,7 #