Bán kính của hai vòng tròn đồng tâm là 16 cm và 10 cm. AB là đường kính của đường tròn lớn hơn. BD tiếp tuyến với đường tròn nhỏ hơn chạm vào nó tại D. Độ dài của AD là bao nhiêu?

Câu trả lời:

#bar (quảng cáo) = 23.5797 #

Giải trình:

Thông qua nguồn gốc #(0,0)# là trung tâm chung cho # C_i # và # C_e # và gọi # r_i = 10 # và # r_e = 16 # điểm tiếp tuyến # p_0 = (x_0, y_0) # đang ở ngã tư #C_i nn C_0 # Ở đâu

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

đây # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Giải quyết để #C_i nn C_0 # chúng ta có

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Trừ đi phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # vì thế

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # và # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Cuối cùng khoảng cách tìm kiếm là

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

hoặc là

#bar (quảng cáo) = 23.5797 #

Giải trình:

Nếu #bar (BD) # là tiếp tuyến # C_i # sau đó #hat (ODB) = pi / 2 # vì vậy chúng ta có thể áp dụng pythagoras:

#bar (OD) ^ 2 + thanh (DB) ^ 2 = thanh (OB) ^ 2 # xác định # r_0 #

# r_0 ^ 2 = thanh (OB) ^ 2 thanh (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Điểm # D # tọa độ, được gọi là # (x_0, y_0) # nên lấy trước khi tính khoảng cách tìm kiếm #bar (quảng cáo) #

Có nhiều cách để làm điều đó. Một phương pháp khác là

# y_0 = thanh (BD) sin (mũ (OBD)) # nhưng #sin (mũ (OBD)) = thanh (OD) / thanh (OB) #

sau đó

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # và

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Theo dữ liệu đã cho, con số trên được rút ra.

O là trung tâm chung của hai vòng tròn đồng tâm

#AB -> "đường kính của vòng tròn lớn hơn" #

# AO = OB -> "bán kính của vòng tròn lớn hơn" = 16 cm #

#DO -> "bán kính của vòng tròn nhỏ hơn" = 10cm #

#BD -> "tiếp tuyến với vòng tròn nhỏ hơn" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Để cho # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

Trong #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Áp dụng luật cosin trong #Delta ADO # chúng tôi nhận được

# QUẢNG CÁO 2 = AO ^ 2 + LÀM ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => QUẢNG CÁO ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => QUẢNG CÁO ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => QUẢNG CÁO ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => QUẢNG CÁO ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => QUẢNG CÁO ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58cm #