Làm thế nào để bạn tìm thấy sự mở rộng nhị thức cho (2x + 3) ^ 3?

Câu trả lời:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Giải trình:

Với tam giác của Pascal, thật dễ dàng tìm thấy mọi mở rộng nhị thức:

Mỗi thuật ngữ của tam giác này là kết quả của tổng hai số hạng trên dòng trên cùng. (ví dụ màu đỏ)

#1#

#1. 1#

# màu (màu xanh) (1. 2. 1) #

# 1. màu (đỏ) 3. màu (đỏ) 3. 1 #

# 1. 4. màu (đỏ) 6. 4. 1 #

…

Hơn nữa, mỗi dòng có thông tin của một mở rộng nhị thức:

Dòng thứ nhất, cho sức mạnh #0#

Thứ 2, cho sức mạnh #1#

Thứ 3, cho sức mạnh #2#…

Ví dụ: # (a + b) ^ 2 # chúng tôi sẽ sử dụng dòng thứ 3 màu xanh lam sau bản mở rộng này:

# (a + b) ^ 2 = màu (xanh dương) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + màu (xanh dương) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + màu (xanh dương) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Sau đó: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Để sức mạnh #3#:

# (a + b) ^ 3 = màu (xanh lá cây) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + màu (xanh lá cây) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + màu (xanh lá cây) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + màu (xanh) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Sau đó # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Vì vậy, ở đây chúng tôi có # màu (đỏ) (a = 2x) # và # màu (màu xanh) (b = 3) #:

Và # (2x + 3) ^ 3 = màu (đỏ) ((2x)) ^ 3 + 3 * màu (đỏ) ((2x)) ^ 2 * màu (xanh) 3 + 3 * màu (đỏ) ((2x))) * màu (xanh dương) 3 ^ 2 + màu (xanh dương) 3 ^ 3 #

Vì thế: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Câu trả lời:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Giải trình:

# (2x + 3) ^ 3 #

Sử dụng khối lập phương của tổng, trong đó # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# a = 2x; # # b = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #