Làm thế nào để tích hợp int e ^ x sinx cosx dx?

Câu trả lời:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Giải trình:

Đầu tiên chúng ta có thể sử dụng danh tính:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

cung cấp cho:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng tích hợp bởi các bộ phận. Công thức là:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Tôi sẽ để #f (x) = sin (2x) # và #g '(x) = e ^ x / 2 #. Áp dụng công thức, chúng tôi nhận được:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng tích hợp bởi các bộ phận một lần nữa, lần này với #f (x) = cos (2x) # và #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Bây giờ chúng ta có tích phân trên cả hai mặt của đẳng thức, vì vậy chúng ta có thể giải nó như một phương trình. Đầu tiên, chúng tôi thêm 2 lần tích phân cho cả hai bên:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Vì chúng tôi muốn một nửa là hệ số trên tích phân ban đầu, chúng tôi chia cả hai bên cho #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10 giây (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Câu trả lời:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Giải trình:

Chúng ta tìm kiếm:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Mà sử dụng danh tính:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Chúng ta có thể viết như sau:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Để thuận tiện, chúng tôi biểu thị:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #và # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Bây giờ, chúng tôi thực hiện tích hợp bởi các bộ phận một lần nữa.

Để cho # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Sau đó cắm vào công thức IBP mà chúng tôi nhận được:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình đồng thời trong hai ẩn số #LÀ#. và # I_C #, vì vậy thay thế B thành A chúng ta có:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Dẫn tới:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #