Đạo hàm của f (x) = csc ^ -1 (x) là gì?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Quá trình:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Đầu tiên chúng ta sẽ viết lại phương trình ở dạng dễ làm việc hơn.

Lấy vũ trụ của cả hai bên:

2.) #csc y = x #

Viết lại về mặt hình sin:

3.) # 1 / siny = x #

Giải quyết cho # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Bây giờ, lấy đạo hàm nên dễ dàng hơn. Bây giờ chỉ là vấn đề của quy tắc dây chuyền.

Chúng ta biết rằng # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (có một bằng chứng về danh tính này nằm ở đây)

Vì vậy, lấy đạo hàm của hàm ngoài, sau đó nhân với đạo hàm của # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Đạo hàm của # 1 / x # giống như đạo hàm của #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Đơn giản hóa 8. cung cấp cho chúng tôi:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Để làm cho tuyên bố đẹp hơn một chút, chúng ta có thể mang hình vuông của # x ^ 2 # bên trong căn bản, mặc dù điều này không cần thiết:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Đơn giản hóa sản lượng:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Và đó là câu trả lời của chúng tôi. Hãy nhớ rằng, các vấn đề phái sinh liên quan đến chức năng nghịch đảo chủ yếu là một bài tập trong kiến thức của bạn về danh tính trig. Sử dụng chúng để phân chia chức năng thành một hình thức dễ phân biệt.