Điểm cực trị cục bộ, nếu có, của f (x) = x ^ 2 + 9x +1 là gì?

Câu trả lời:

Parabolae có chính xác một cực, đỉnh.

Nó là #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Kể từ khi # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # ở mọi nơi chức năng được lõm lên ở mọi nơi và điểm này phải là tối thiểu.

Giải trình:

Bạn có hai gốc để tìm đỉnh của parabol: một, sử dụng phép tính để tìm là đạo hàm bằng 0; hai, tránh tính toán bằng mọi giá và chỉ cần hoàn thành hình vuông. Chúng tôi sẽ sử dụng tính toán cho thực hành.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, chúng ta cần lấy đạo hàm của điều này.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Theo tính tuyến tính của đạo hàm ta có

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Sử dụng quy tắc sức mạnh, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # chúng ta có

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Chúng tôi đặt giá trị này bằng 0 để tìm các điểm tới hạn, cực tiểu và cực đại cục bộ và toàn cầu và đôi khi các điểm uốn có đạo hàm bằng 0.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

vì vậy chúng tôi có một điểm quan trọng tại # x = -9 / 2 # hoặc là #-4 1/2#.

Để tìm tọa độ y của điểm tới hạn, chúng tôi phụ # x = -9 / 2 # trở lại chức năng, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Điểm / đỉnh quan trọng là #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Chúng tôi biết rằng bởi vì #a> 0 #, đây là một mức tối đa.

Để chính thức tìm xem đó là cực đại hay cực tiểu, chúng ta cần thực hiện phép thử đạo hàm thứ hai.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Đạo hàm thứ hai là 2 tại tất cả các giá trị của x. Điều này có nghĩa là nó lớn hơn 0 ở mọi nơi và hàm được lõm ở mọi nơi (đó là một parabola với #a> 0 # sau khi tất cả), do đó, cực trị phải là tối thiểu, đỉnh.