Khoảng hội tụ của sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n là gì? Và tổng của x = 3 là bao nhiêu?

Câu trả lời:

# - oo, -4 "U" 5, oo "là khoảng hội tụ cho x" #

# "x = 3 không nằm trong khoảng hội tụ nên tổng của x = 3 là" oo #

Giải trình:

# "Xử lý tổng như là một chuỗi hình học bằng cách thay thế" #

# "Z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

#"Sau đó chúng tôi có"#

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "cho" | z | <1 #

# "Vì vậy, khoảng thời gian hội tụ là" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "HOẶC" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 âm)" #

# "Trường hợp tích cực:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 và x> 5 #

# => x> 5 #

# "Trường hợp tiêu cực:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 và x <5 #

# => x <-4 #

# "Phần thứ hai:" x = 3 => z = 2> 1 => "tổng là" oo #