Làm thế nào để tích hợp int x ^ lnx?

Câu trả lời:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Giải trình:

Chúng tôi bắt đầu với một sự thay thế bằng # u = ln (x) #. Sau đó chúng tôi chia cho đạo hàm của # u # hòa nhập với # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Bây giờ chúng ta cần giải quyết cho # x # về mặt # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Bạn có thể đoán rằng điều này không có tính chống đạo hàm cơ bản và bạn đã đúng. Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng biểu mẫu cho hàm lỗi tưởng tượng, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Để có được tích phân của chúng ta vào dạng này, chúng ta chỉ có thể có một biến bình phương theo số mũ của # e #, vì vậy chúng ta cần hoàn thành hình vuông:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Bây giờ chúng tôi có thể giới thiệu một sự thay thế u với # t = u + 1/2 #. Đạo hàm chỉ là #1#, vì vậy chúng tôi không cần phải làm gì đặc biệt để hòa nhập với # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Bây giờ chúng tôi có thể hoàn tác tất cả các thay thế để có được:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #