Phương pháp mở rộng đồng yếu tố để tìm định thức là gì?

Xin chào !

Để cho #A = (a_ {i, j}) # là một ma trận kích thước #n lần n #.

Chọn một cột: số cột # j_0 # (Tôi sẽ viết: " # j_0 #-thế cột ").

Các công thức mở rộng đồng yếu tố (hoặc công thức của Laplace) cho # j_0 #cột thứ là

# det (A) = sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

Ở đâu # Delta_ {i, j_0} # là yếu tố quyết định của ma trận # A # không có nó #tôi#dòng thứ và nó # j_0 #cột thứ; vì thế, # Delta_ {i, j_0} # là một yếu tố quyết định kích thước # (n-1) lần (n-1) #.

Lưu ý rằng số # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # được gọi là đồng sáng lập nơi # (i, j_0) #.

Có thể nó trông có vẻ phức tạp, nhưng thật dễ hiểu với một ví dụ. Chúng tôi muốn tính toán # D #:

Nếu chúng tôi phát triển trên cột thứ 2, bạn sẽ nhận được

vì thế:

Cuối cùng, # D = 0 #.

Để hiệu quả, bạn phải chọn một dòng có nhiều số không: tổng sẽ rất đơn giản để tính!

Ghi chú. Bởi vì # det (A) = det (A ^ text {T}) #, bạn cũng có thể chọn một dòng thay vì một cột. Vì vậy, công thức trở thành

# det (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

Ở đâu # i_0 # là số dòng được chọn.