Một không gian Hilbert là gì? + Ví dụ

Không gian Hilbert là một tập hợp các yếu tố với các thuộc tính nhất định, cụ thể là:

đó là một không gian vectơ (vì vậy, có các phép toán trên các phần tử của nó điển hình cho các vectơ, như nhân với một số thực và phép cộng thỏa mãn các luật giao hoán và liên kết);

có một sản phẩm vô hướng (đôi khi được gọi là bên trong hoặc dấu chấm) giữa bất kỳ hai phần tử nào dẫn đến một số thực.

Ví dụ, không gian Euclide ba chiều của chúng tôi là một ví dụ về không gian Hilbert với sản phẩm vô hướng của # x = (x_1, x_2, x_3) # và # y = (y_1, y_2, y_3) # tương đương với # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Ví dụ thú vị hơn là không gian của tất cả các chức năng liên tục trên một phân khúc # a, b # với một sản phẩm vô hướng được định nghĩa là

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

Trong vật lý lượng tử, không gian Hilbert đóng vai trò rất quan trọng như là một chức năng mô tả trạng thái của một hệ thống # Psi # là một yếu tố của một không gian Hilbert.

Tôi có thể đề nghị

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

như một giới thiệu về việc sử dụng không gian Hilbert trong vật lý lượng tử.