Vectơ đơn vị trực giao với mặt phẳng chứa (i -2j + 3k) và (i - j + k) là gì?

Câu trả lời:

Có hai bước trong việc tìm giải pháp này: 1. Tìm sản phẩm chéo của hai vectơ để tìm một vectơ trực giao với mặt phẳng chứa chúng và 2. bình thường hóa vectơ đó để nó có độ dài đơn vị.

Giải trình:

Bước đầu tiên trong việc giải quyết vấn đề này là tìm sản phẩm chéo của hai vectơ. Sản phẩm chéo theo định nghĩa tìm thấy một vectơ trực giao với mặt phẳng trong đó hai vectơ được nhân nằm.

# (i 2j + 3k) xx (i j + k) #

= # ((- 2 * 1) - (3 * -1)) i + ((3 * 1) - (1 * 1)) j + ((1 * -1) - (- 2 * 1)) k #

= # (- 2 - (- 3)) i + (3-1) j + (- 1 - (- 2)) k #

= # (i + 2j + k) #

Đây là một vectơ trực giao với mặt phẳng, nhưng nó chưa phải là một vectơ đơn vị. Để làm cho nó trở thành một, chúng ta cần 'bình thường hóa' vectơ: chia mỗi thành phần của nó theo chiều dài của nó. Độ dài của vectơ # (ai + bj + ck) # được đưa ra bởi:

#l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

Trong trường hợp này:

#l = sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt6 #

Chia từng thành phần của # (i + 2j + k) # bởi # sqrt6 # mang lại câu trả lời của chúng tôi, đó là vectơ đơn vị trực giao với mặt phẳng trong đó # (i 2j + 3k) và (i j + k) # nói dối là:

# (i / sqrt6 + 2 / sqrt6j + k / sqrt6) #