Làm thế nào để bạn tìm thấy Công thức MacLaurin cho f (x) = sinhx và sử dụng nó để xấp xỉ f (1/2) trong vòng 0,01?

Câu trả lời:

#sinh (1/2) ~ ~ 0,52 #

Giải trình:

Chúng tôi biết định nghĩa cho #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Vì chúng ta biết loạt Maclaurin cho # e ^ x #, chúng ta có thể sử dụng nó để xây dựng một cho #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Chúng ta có thể tìm thấy loạt cho # e ^ -x # Bằng cách thay thế # x # với # -x #:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Chúng ta có thể trừ hai số này với nhau để tìm tử số của # sinh # Định nghĩa:

#color (trắng) (- e ^ -x.) e ^ x = color (trắng) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (trắng) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = color (trắng) (lllllllll) 2xcolor (trắng) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) màu (trắng) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Chúng ta có thể thấy rằng tất cả các điều khoản chẵn hủy bỏ và tất cả các điều khoản lẻ tăng gấp đôi. Chúng ta có thể biểu diễn mô hình này như vậy:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Để hoàn thành #sinh (x) # loạt, chúng ta chỉ cần chia điều này bằng #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo hủy2 / (hủy2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Bây giờ chúng tôi muốn tính toán #f (1 / 2) # với độ chính xác ít nhất #0.01#. Chúng ta biết dạng tổng quát này của lỗi Lagrange bị ràng buộc đối với đa thức taylor bậc n về # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # Ở đâu # M # là giới hạn trên của đạo hàm thứ n trong khoảng từ # c # đến # x #.

Trong trường hợp của chúng tôi, bản mở rộng là một loạt Maclaurin, vì vậy # c = 0 # và # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Các dẫn xuất bậc cao của #sinh (x) # sẽ hoặc là #sinh (x) # hoặc là #cosh (x) #. Nếu chúng ta xem xét các định nghĩa cho chúng, chúng ta thấy rằng #cosh (x) # sẽ luôn lớn hơn #sinh (x) #, vì vậy chúng ta nên làm việc # M #hướng đến #cosh (x) #

Hàm cosin hyperbol luôn tăng, vì vậy giá trị lớn nhất trong khoảng sẽ là #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Bây giờ chúng tôi cắm cái này vào lỗi Lagrange bị ràng buộc:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Chúng tôi muốn # | R_n (x) | # nhỏ hơn #0.01#, vì vậy chúng tôi thử một số # n # các giá trị cho đến khi chúng ta đạt đến điểm đó (số lượng thuật ngữ trong đa thức càng ít thì càng tốt). Chúng tôi thấy rằng # n = 3 # là giá trị đầu tiên sẽ cung cấp cho chúng tôi một lỗi bị ràng buộc nhỏ hơn #0.01#, vì vậy chúng ta cần sử dụng đa thức taylor bậc 3.

#sinh (1/2) ~ ~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~ ~ 0,52 #