Chiều dài của thang là bao nhiêu nếu một thang có chiều dài L được mang theo chiều ngang xung quanh một góc từ một hội trường rộng 3 feet vào một hội trường rộng 4 feet?

Hãy xem xét một phân khúc dòng chạy từ # (x, 0) # đến # (0, y) # qua góc bên trong #(4,3)#.

Chiều dài tối thiểu của đoạn đường này sẽ là chiều dài tối đa của thang có thể được điều động xung quanh góc này.

Giả sử rằng # x # vượt quá #(4,0)# bởi một số yếu tố tỷ lệ, #S#, của 4, vì vậy

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

xem cho # (1 + s) # hiển thị sau này như là một giá trị được bao gồm từ một cái gì đó.

Bằng các hình tam giác tương tự chúng ta có thể thấy rằng

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Theo Định lý Pythagore, chúng ta có thể biểu thị bình phương độ dài của đoạn thẳng là một hàm của #S#

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Thông thường chúng ta sẽ lấy đạo hàm của L (s) để tìm mức tối thiểu nhưng trong trường hợp này, việc lấy đạo hàm của nó dễ dàng hơn # L ^ 2 (s) #.

(Lưu ý rằng nếu #L (s) # là tối thiểu như # s = s_0 #, sau đó # L ^ 2 (s) # cũng sẽ là tối thiểu tại # s = s_0 #.)

Lấy đạo hàm đầu tiên của # L ^ 2 (s) # và đặt nó về 0, chúng tôi nhận được:

# 3 ^ 2 (-2 giây ^ (- 3) - 2 giây ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Nhân với # s ^ 3 # và sau đó bao thanh toán # 2 (1 + s) #

cho phép chúng tôi giải quyết cho #S#

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Cắm giá trị này trở lại vào phương trình cho # L ^ 2 (s) # và lấy căn bậc hai (tôi đã sử dụng bảng tính), chúng tôi nhận được

chiều dài thang tối đa # = 9,87 feet # (khoảng)