Làm thế nào để tôi giải phương trình này?

Câu trả lời:

# "Xem giải thích" #

Giải trình:

# "Đầu tiên áp dụng định lý gốc hợp lý để tìm gốc hợp lý." #

# "Chúng tôi tìm thấy" x = 1 "là gốc hợp lý." #

# "Vậy" (x-1) "là một yếu tố. Chúng tôi chia yếu tố đó đi:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Chúng tôi có một phương trình bậc ba còn lại không có gốc hợp lý." #

# "Chúng tôi có thể giải quyết nó bằng cách thay thế phương pháp Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Thay thế" x = y + 2/9 ". Sau đó, chúng tôi nhận được" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Thay thế" y = (sqrt (22) / 9) z ". Sau đó, chúng tôi nhận được" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Thay thế" z = t + 1 / t ". Sau đó, chúng tôi nhận được" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Thay thế" u = t ^ 3 ", mang lại phương trình bậc hai:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Một gốc của phương trình bậc hai này là u = 5.73717252." #

# "Thay thế các biến trở lại, mang lại:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Các gốc khác rất phức tạp:" #

# -0.38982242 chiều 0.55586071 i. #

# "(Chúng có thể được tìm thấy bằng cách chia đi" (x-1.44631151)) #

Câu trả lời:

Số 0 thực là hợp lý # x = 1 #.

Sau đó, có một số không thực vô lý:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

và các số không phức tạp không có thực liên quan.

Giải trình:

Được:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Lưu ý rằng tổng các hệ số là #0#.

Đó là: #3-5+2 = 0#

Do đó chúng ta có thể suy luận rằng # x = 1 # là số không và # (x-1) # một yếu tố:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (trắng) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Các khối còn lại có phần phức tạp hơn …

Được:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Biến đổi Tschirnhaus

Để làm cho nhiệm vụ giải quyết khối đơn giản hơn, chúng ta làm cho khối đơn giản hơn bằng cách sử dụng phép thay thế tuyến tính được gọi là phép biến đổi Tschirnhaus.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

Ở đâu # t = (9x-2) #

Phương pháp của Cardano

Chúng tôi muốn giải quyết:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Để cho # t = u + v #.

Sau đó:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Thêm các ràng buộc # v = 22 / u # để loại bỏ # (u + v) # hạn và nhận:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Nhân qua # u ^ 3 # và sắp xếp lại một chút để có được:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Sử dụng công thức bậc hai để tìm:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54 giây (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Vì đây là Real và đạo hàm là đối xứng trong # u # và # v #, chúng ta có thể sử dụng một trong những gốc này cho # u ^ 3 # và cái khác cho # v ^ 3 # để tìm root thực sự:

# t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

và rễ phức tạp liên quan:

# t_2 = gốc omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + gốc omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 gốc (3) (305 + 27sqrt (113)) + gốc omega (3) (305-27sqrt (113)) #

Ở đâu # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # là gốc khối phức tạp nguyên thủy của #1#.

Hiện nay # x = 1/9 (2 + t) #. Vì vậy, gốc của khối ban đầu của chúng tôi là:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + gốc omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + gốc omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 gốc (3) (305 + 27sqrt (113)) + gốc omega (3) (305-27sqrt (113))) #