Đạo hàm của f (x) = x (sqrt (1 - x ^ 2)) là gì?

Câu trả lời:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Giải trình:

Chúng tôi sẽ yêu cầu sử dụng hai quy tắc: quy tắc sản phẩm và quy tắc chuỗi. Quy tắc sản phẩm nói rằng:

# (d (fg)) / dx # = # (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx #.

Quy tắc chuỗi nói rằng:

# (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx #, Ở đâu # u # là một chức năng của # x # và # y # là một chức năng của # u #.

Vì thế, # (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' #

Để tìm đạo hàm của #sqrt (1-x ^ 2) #, sử dụng quy tắc chuỗi, với

#u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' #

# = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) # # = -x / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Thay thế kết quả này vào phương trình ban đầu:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.