Số 90 ^ 9 có 1900 ước số tích phân khác nhau. Có bao nhiêu trong số này là hình vuông của số nguyên?

Câu trả lời:

Wow - tôi có thể trả lời câu hỏi của riêng tôi.

Giải trình:

Nó chỉ ra rằng cách tiếp cận là sự kết hợp của tổ hợp và lý thuyết số. Chúng tôi bắt đầu bằng bao thanh toán #90^9# vào các yếu tố chính của nó:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Mẹo ở đây là tìm ra cách tìm các bình phương số nguyên, tương đối đơn giản. Bình phương số nguyên có thể được tạo theo nhiều cách khác nhau từ hệ số này:

#5^9*3^18*2^9#

Chúng tôi có thể thấy điều đó #5^0#, ví dụ, là một hình vuông của một số nguyên và một ước của #90^9#; tương tự như vậy, #5^2#, #5^4#,#5^6#và #5^8# tất cả đều đáp ứng những điều kiện này Do đó, chúng tôi có 5 cách có thể để định cấu hình ước số của #90^9# đó là một hình vuông của một số nguyên, chỉ sử dụng 5s.

Lý do tương tự áp dụng cho #3^18# và #2^9#. Mọi sức mạnh chẵn của các yếu tố cơ bản này - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (tổng cộng 10) cho 3 và 0, 2, 4, 6, 8 (tổng cộng 5) cho 2 - là một hình vuông hoàn hảo, là một ước của #90^9#. Hơn nữa, bất kỳ sự kết hợp trong số các ước số nguyên tố có quyền hạn thậm chí còn thỏa mãn các điều kiện. Ví dụ, #(2^2*5^2)^2# là một hình vuông của một số nguyên, như là #(3^8*2^4)^2#; và cả hai, được tạo thành từ các ước của #90^9#, cũng là ước của #90^9#.

Do đó, số lượng bình phương mong muốn của các số nguyên là ước của #90^9# được đưa ra bởi #5*10*5#, đó là phép nhân của các lựa chọn có thể có cho mỗi thừa số nguyên tố (5 cho 5, 10 cho 3 và 5 cho 2). Điều này tương đương với #250#, Cái nào là câu trả lời đúng.