Lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) là gì khi x tiếp cận 1 từ phía bên phải?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

đồ thị {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Chà, điều này sẽ dễ dàng hơn nhiều nếu chúng ta chỉ đơn giản là lấy # ln # của cả hai bên. Kể từ khi # x ^ (1 / (1-x)) # là liên tục trong khoảng mở ở bên phải của #1#, chúng ta có thể nói về điều đó:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Kể từ khi #ln (1) = 0 # và #(1 - 1) = 0#, đây là hình thức #0/0# và quy tắc của L'Hopital được áp dụng:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

Và dĩ nhiên, # 1 / x # là liên tục từ mỗi phía của #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Do đó, giới hạn ban đầu là:

#color (màu xanh) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = màu (màu xanh) (1 / e) #