Giải pháp cho phương trình vi phân dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 là gì?

Câu trả lời:

Giải pháp chung là:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Giải trình:

Chúng ta có:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Chúng tôi có thể thu thập các thuật ngữ cho các biến tương tự:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Đó là một phương trình vi phân phi tuyến tính bậc nhất có thể tách rời, vì vậy chúng ta có thể "tách các biến" để có được:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Cả hai tích phân đều là các hàm tiêu chuẩn, vì vậy chúng ta có thể sử dụng kiến thức đó để tích hợp trực tiếp:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Và chúng ta có thể dễ dàng sắp xếp lại cho # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Dẫn đến giải pháp chung:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Câu trả lời:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Giải trình:

Đây là một phương trình vi phân riêng biệt, có nghĩa là nó có thể được viết dưới dạng:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

Nó có thể được giải quyết bằng cách tích hợp cả hai mặt:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

Trong trường hợp của chúng tôi, trước tiên chúng tôi cần tách tích phân thành đúng mẫu. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách chia cả hai bên cho # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcelon ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Bây giờ chúng ta có thể tích hợp cả hai mặt:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Chúng ta có thể giải quyết tích phân tay trái với sự thay thế của # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Đặt lại (và kết hợp các hằng số) cho:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Nhân cả hai bên # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Chia cả hai bên # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #