Chứng tỏ rằng phương trình px ^ 2 + qx + r = 0 và qx ^ 2 + rx + p = 0 sẽ có gốc chung nếu p + q + r = 0 hoặc p = q = r?

Câu trả lời:

Xem giải thích …

Nếu # p = q = r # sau đó:

# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #

Vì vậy, bất kỳ số không họ có sẽ có điểm chung.

Lưu ý rằng những điều kiện này là không bắt buộc.

Ví dụ, nếu # p = 0 #, #q! = 0 # và #r! = 0 # sau đó:

# px ^ 2 + qx + r = 0 # có gốc # x = -r / q #

# qx ^ 2 + rx + p = 0 # có rễ # x = -r / q # và # x = 0 #

Vì vậy, hai phương trình có một gốc chung, nhưng #p! = q # và chúng tôi không yêu cầu # p + q + r = 0 #.

Vui lòng xem bên dưới.

Như # px ^ 2 + qx + r = 0 # và # qx ^ 2 + rx + p = 0 # có gốc chung, hãy để gốc này được # alpha #. Sau đó

# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # và # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #

và do đó # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #

và # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # và # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #

I E. # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #

hoặc là # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #

hoặc là # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #

hoặc là # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # và chia cho # p #

hoặc là # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #

I E. # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #

Do đó # p + q + r = 0 # hoặc là # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #

Quan sát rằng # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #

# alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alpha ^ 2 + alpha + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #

và nếu # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, chúng ta có # alpha ^ 2 + alpha + 1 = 0 # I E. # p = q = r #