Giới hạn khi x tiếp cận 0 của (1 + 2x) ^ cscx là gì?

Câu trả lời là # e ^ 2 #.

Lý do không đơn giản. Đầu tiên, bạn phải sử dụng mẹo: a = e ^ ln (a).

Vì thế, # (1 + 2x) ^ (1 / sinx) = e ^ u #, Ở đâu

# u = ln ((1 + 2x) ^ (1 / sinx)) = ln (1 + 2x) / sinx #

Do đó, như # e ^ x # là chức năng liên tục, chúng tôi có thể di chuyển giới hạn:

#lim_ (x-> 0) e ^ u = e ^ (lim_ (x-> 0) u) #

Hãy để chúng tôi tính giới hạn của # u # khi x tiến đến 0. Nếu không có bất kỳ định lý nào, việc tính toán sẽ khó khăn. Do đó, chúng tôi sử dụng định lý de l'Hospital vì giới hạn là loại #0/0#.

#lim_ (x-> 0) f (x) / g (x) = lim_ (x-> 0) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Vì thế,

#lim_ (x-> 0) ln (1 + 2x) / sinx = 2 / (2x + 1) / cos (x) = 2 / ((2x + 1) cosx) = 2 #

Và sau đó, nếu chúng ta trở về giới hạn ban đầu # e ^ (lim_ (x-> 0) u) # và chèn 2, chúng tôi nhận được kết quả của # e ^ 2 #,