Làm thế nào để bạn tìm thấy khối lượng của vùng được bao quanh bởi các đường cong y = x ^ 2 - 1 và y = 0 được xoay quanh đường x = 5?

Câu trả lời:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Giải trình:

Để tính toán khối lượng này, theo một nghĩa nào đó, chúng ta sẽ cắt nó thành các lát (vô cùng mỏng).

Chúng tôi hình dung khu vực, để giúp chúng tôi với điều này, tôi đã đính kèm biểu đồ trong đó khu vực là phần bên dưới đường cong. Chúng tôi chú ý điều đó # y = x ^ 2-1 # băng qua đường # x = 5 # Ở đâu # y = 24 # và nó vượt qua ranh giới # y = 0 # Ở đâu # x = 1 # đồ thị {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Khi cắt vùng này theo lát ngang với chiều cao # nhuộm # (một chiều cao rất nhỏ). Độ dài của các lát này phụ thuộc rất nhiều vào tọa độ y. để tính chiều dài này, chúng ta cần biết khoảng cách từ một điểm # (y, x) # trên đường dây # y = x ^ 2-1 # đến điểm (5, y). Tất nhiên đây là # 5-x #, nhưng chúng tôi muốn biết làm thế nào nó phụ thuộc vào # y #. Kể từ khi # y = x ^ 2-1 #, chúng tôi biết # x ^ 2 = y + 1 #, vì chúng ta có #x> 0 # cho khu vực chúng tôi quan tâm, # x = sqrt (y + 1) #, do đó khoảng cách này phụ thuộc vào # y #, mà chúng ta sẽ biểu thị là #r (y) # được đưa ra bởi #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Bây giờ chúng tôi xoay khu vực này xung quanh # x = 5 #, điều này có nghĩa là mỗi lát cắt trở thành một hình trụ có chiều cao # nhuộm # và bán kính #r (y) #, do đó một khối lượng #pir (y) ^ 2dy #. Tất cả những gì chúng ta cần làm bây giờ là cộng các khối lượng nhỏ vô hạn này bằng cách sử dụng tích hợp. Chúng tôi chú ý điều đó # y # đi từ #0# đến #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.