Giả sử K và L là hai không gian vectơ thực không gian con khác nhau V. Nếu cho dim (K) = dim (L) = 4, làm thế nào để xác định kích thước tối thiểu có thể có cho V?

Câu trả lời:

5

Giải trình:

Hãy để bốn vectơ # k_1, k_2, k_3 # và # k_4 # tạo thành một cơ sở của không gian vectơ # K #. Kể từ khi # K # là một không gian con của # V #, bốn vectơ này tạo thành một tập độc lập tuyến tính trong # V #. Kể từ khi # L # là một không gian con của # V # khác với # K #, phải có ít nhất một yếu tố, nói # l_1 # trong # L #, cái không có trong # K #, tức là không phải là sự kết hợp tuyến tính của # k_1, k_2, k_3 # và # k_4 #.

Vì vậy, bộ # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # là một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính trong # V #. Do đó, chiều của # V # ít nhất là 5!

Trong thực tế, nó có thể cho khoảng # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # là toàn bộ không gian vectơ # V # - sao cho số lượng vectơ cơ sở tối thiểu phải là 5.

Chỉ là một ví dụ, hãy # V # được # RR ^ 5 # và để # K # và # V # bao gồm các vectơ của các hình thức

# ((alpha), (beta), (gamma), (đồng bằng), (0)) # và # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Dễ dàng thấy rằng các vectơ

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#và #((0),(0),(0),(0),(0))#

tạo thành một cơ sở của # K #. Nối vectơ #((0),(0),(0),(0),(0))#và bạn sẽ có được một cơ sở cho toàn bộ không gian vectơ,