Câu hỏi 242a2

Câu trả lời:

Đối với năng lượng được lưu trữ trong các tụ điện tại thời điểm # t # chúng ta có #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # Ở đâu #E (0) # là năng lượng ban đầu, # C # năng lực và # R # điện trở của dây nối hai bên tụ điện.

Giải trình:

Trước tiên chúng ta hãy xem xét một số khái niệm cốt lõi trước khi trả lời câu hỏi này. Tất nhiên chúng ta cần biết năng lượng được lưu trữ trong tụ điện, hay đúng hơn là năng lượng được lưu trữ trong điện trường được tạo ra bởi điện tích được lưu trữ trong tụ điện. Đối với điều này, chúng tôi có công thức # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # với # C # công suất của tụ điện và # Q # điện tích được lưu trữ trên một trong các tấm tụ điện. 1

Vì vậy, để biết năng lượng giảm như thế nào, chúng ta cần biết điện tích giảm như thế nào. Đối với điều này có một vài điều chúng ta nên ghi nhớ. Điều đầu tiên là, phí chỉ có thể giảm nếu nó có thể đi bất cứ đâu. Kịch bản đơn giản nhất là hai tấm được kết nối qua một sợi dây, để các tấm có thể trao đổi điện tích để chúng trở thành trung tính. Điều thứ hai là nếu chúng ta cho rằng dây không có điện trở, điện tích sẽ có thể di chuyển tức thời, do đó năng lượng cũng sẽ giảm về 0 với tốc độ đó. Vì đây là một tình huống nhàm chán, và bên cạnh đó, không thực tế, chúng tôi cho rằng dây có một số kháng cự # R #, mà chúng ta có thể mô hình hóa bằng cách kết nối các tấm tụ điện thông qua một điện trở với điện trở # R # sử dụng dây điện trở.

Những gì chúng ta có bây giờ là một mạch RC, được nhìn thấy dưới đây. Để tìm hiểu sự thay đổi của điện tích được lưu trữ, chúng ta cần viết ra một số phương trình vi phân. Tôi không chắc người đọc thành thạo toán đến mức nào, vì vậy xin vui lòng cho tôi biết nếu phần sau không rõ ràng với bạn, và tôi sẽ cố gắng giải thích chi tiết hơn.

Trước hết chúng tôi lưu ý rằng khi chúng tôi đi dọc theo dây, chúng tôi trải nghiệm hai lần nhảy điện thế (điện áp), cụ thể là ở tụ điện và tại điện trở. Những bước nhảy được đưa ra bởi # DeltaV_C = Q / C # và # DeltaV_R = IR # tương ứng 1. Chúng tôi lưu ý rằng ban đầu không có dòng điện, vì vậy sự khác biệt tiềm năng so với điện trở là 0, tuy nhiên, như chúng ta sẽ thấy, sẽ có một dòng điện khi các điện tích bắt đầu di chuyển. Bây giờ chúng tôi lưu ý rằng khi chúng tôi đi bộ xung quanh mạch bắt đầu từ một điểm, chúng tôi sẽ lại ở cùng một điểm, bởi vì chúng tôi đang ở trong một mạch. Tại điểm này, tiềm năng là như nhau cả hai lần, bởi vì đó là điểm giống nhau. (Khi tôi nói rằng chúng ta đi dọc theo mạch, tôi không có nghĩa này theo nghĩa đen, thay vào đó chúng ta kiểm tra điện áp nhảy trên mạch tại một thời điểm, vì vậy không có thời gian trôi qua khi đi dọc theo mạch, do đó, đối số được giữ, ngay cả khi điện áp thay đổi theo thời gian.)

Điều này có nghĩa là tổng số tiềm năng nhảy bằng không. Vì thế # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Bây giờ chúng tôi nghĩ về những gì #TÔI#, hiện tại là. Hiện tại là điện tích di chuyển, nó mất điện tích dương từ một tấm tụ điện và cung cấp cho các tấm khác. (Trên thực tế hầu hết thời gian là cách khác, nhưng nó không quan trọng đối với toán học của vấn đề này.) Điều này có nghĩa là dòng điện bằng với sự thay đổi điện tích trên các tấm, nói cách khác # I = (dQ) / dt #. Thay thế điều này trong phương trình trên cho chúng ta # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, nghĩa là # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. Đây được gọi là phương trình vi phân bậc nhất tuyến tính. Nó quy định sự thay đổi của điện tích theo giá trị của điện tích tại thời điểm đó theo cách tuyến tính, nghĩa là nếu điện tích lớn gấp đôi, thì sự thay đổi điện tích cũng sẽ lớn gấp đôi. Chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng tính toán thông minh.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, chúng tôi giả sử # Qne0 #, mà nó không phải là ban đầu, và như nó sẽ bật ra, nó sẽ không bao giờ. Sử dụng điều này chúng ta có thể nói # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Để biết # Q # tại một số thời điểm # t # (nói cách khác #Q (t) #, chúng tôi tích hợp phương trình như sau: # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= - t / (CR) # kể từ khi # C # và # R # là hằng số. # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # thông qua thay đổi các biến. Điều này có nghĩa là #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, vì thế #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Cuối cùng, chúng ta cần thay thế trở lại trong phương trình năng lượng:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Capi (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Vì vậy, năng lượng giảm theo cấp số nhân theo thời gian. Quả thực chúng ta thấy rằng nếu # R # đã đi đến không, #E (t) # sẽ về 0 ngay lập tức.

1 Griffiths, David J. Giới thiệu về điện động lực. Phiên bản thứ tư. Pearson Education Limited, 2014