Chứng tỏ rằng phương trình x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 có chính xác một nghiệm trên [0, 1] không?

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Trước hết, hãy tính toán #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # tại ranh giới của miền của chúng tôi:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Nếu chúng ta tính đạo hàm

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Chúng ta có thể thấy rằng nó luôn luôn tích cực trong #0,1#. Trong thực tế, # x ^ 2 + 1 # luôn luôn tích cực, và # 4x # rõ ràng là tích cực, vì # x # tích cực.

Vì vậy, chức năng của chúng tôi bắt đầu dưới # x # trục, kể từ #f (0) <0 #và kết thúc ở trên # x # trục, kể từ #f (1)> 0 #. Hàm này là một đa thức, và vì vậy nó là liên tục.

Nếu một đường liên tục bắt đầu bên dưới trục và kết thúc ở trên, điều đó có nghĩa là nó phải vượt qua nó ở đâu đó ở giữa. Và thực tế là đạo hàm luôn dương có nghĩa là hàm luôn phát triển và do đó nó không thể vượt qua trục hai lần, do đó là bằng chứng.