Logarit của một số âm là gì?

Logarit của số âm không được xác định trong số thực, giống như căn bậc hai của số âm không được xác định trong số thực. Nếu bạn dự kiến sẽ tìm thấy nhật ký của một số âm, một câu trả lời là "không xác định" là đủ trong hầu hết các trường hợp.

Nó Là có thể đánh giá một, tuy nhiên, câu trả lời sẽ là một số phức. (một số mẫu #a + bi #, Ở đâu #i = sqrt (-1) #)

Nếu bạn quen thuộc với các số phức và cảm thấy thoải mái khi làm việc với chúng, thì hãy đọc tiếp.

Đầu tiên, hãy bắt đầu với một trường hợp chung:

#log_b (-x) =? #

Chúng tôi sẽ sử dụng quy tắc thay đổi cơ sở và chuyển đổi sang logarit tự nhiên, để làm cho mọi thứ dễ dàng hơn sau này:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Lưu ý rằng #ln (-x) # giống như #ln (-1 * x) #. Chúng ta có thể khai thác thuộc tính bổ sung của logarit và tách phần này thành hai bản ghi riêng biệt:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Bây giờ vấn đề duy nhất là tìm ra cái gì #ln (-1) # Là. Ban đầu nó có vẻ như là một điều không thể đánh giá, nhưng có một phương trình khá nổi tiếng được gọi là Danh tính của Euler có thể giúp chúng ta.

Danh tính của Euler:

# e ^ (ipi) = -1 #

Kết quả này đến từ việc mở rộng chuỗi năng lượng của sin và cos. (Tôi sẽ không giải thích điều đó quá sâu, nhưng nếu bạn quan tâm, có một trang hay ở đây giải thích thêm một chút)

Hiện tại, chúng ta chỉ cần lấy nhật ký tự nhiên của cả hai mặt của Danh tính của Euler's:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Giản thể:

#ipi = ln (-1) #

Vì vậy, bây giờ chúng ta biết những gì #ln (-1) # là, chúng ta có thể thay thế trở lại vào phương trình của chúng tôi:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Bây giờ bạn có một công thức để tìm nhật ký của số âm. Vì vậy, nếu chúng ta muốn đánh giá một cái gì đó như # log_2 10 #, chúng ta chỉ cần cắm một vài giá trị:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #