Đạo hàm của (x ^ 2 + x) ^ 2 là gì?

Câu trả lời:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Giải trình:

Bạn có thể phân biệt chức năng này bằng cách sử dụng tổng và quy tắc quyền lực. Lưu ý rằng bạn có thể viết lại chức năng này như

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Bây giờ, quy tắc tổng cho bạn biết rằng đối với các hàm có dạng

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

bạn có thể tìm thấy đạo hàm của # y # bằng cách thêm các dẫn xuất của các chức năng riêng lẻ đó.

#color (màu xanh) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

Trong trường hợp của bạn, bạn có

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

Để phân biệt phân số này, hãy sử dụng quy tắc sức mạnh

#color (màu xanh) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

Vì vậy, công cụ phái sinh của bạn sẽ xuất hiện

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= màu (xanh) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

Hoặc, bạn có thể sử dụng quy tắc chuỗi để phân biệt # y #.

#color (màu xanh) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

Trong trường hợp của bạn, bạn có #y = u ^ 2 # và # u = x ^ 2 + x #, để bạn có được

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = màu (xanh lá cây) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #